Noktaların Transformasyonu

Noktaların Transformasyonu

Bilgisayar grafiklerinde, noktaların ve düz çizgilerin dönüşümleri temel bir konudur. Bu derste 2D transformasyonları ve homojen koordinat sistemini öğreneceğiz.

2D vs 3D Transformasyon Matrisleri

Bilgisayar grafiğinde 3 boyutlu transformasyon aslında öteleme (translation) işlemini de kapsayabilmek için kullanılır.

2D Transformasyon Matrisi (2x2)

Klasik 2x2 matris ile sadece döndürme, ölçekleme ve yansıma yapılabilir:

$$T = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$$

Sınırlama: Öteleme (translation) yapılamaz! ❌

3D Homojen Koordinat Matrisi (3x3)

Homojen koordinatlarda 3x3 matris kullanarak tüm transformasyonlar tek bir matris ile yapılabilir:

$$T = \begin{bmatrix} a & b & e \\ c & d & f \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

Burada:

• a, b, c, d: Döndürme, ölçekleme, yansıma parametreleri
• e, f: Öteleme (translation) parametreleri (x ve y yönünde)
• Son satır [0 0 1]: Homojen koordinat sabitleyici

3 Boyutlu Transformasyon

Ekran görüntüsündeki gibi, 3 temel transformasyon bir arada kullanılabilir:

• [x y z 1]: Genel form (homojen koordinat)
• [a b e]: Perspektif projeksiyon + öteleme
• [c d f]: Ölçekleme + döndürme

Transformasyon Karşılaştırması

Özellik	2x2 Matris	3x3 Homojen Matris
Döndürme	✅ Yapılabilir	✅ Yapılabilir
Ölçekleme	✅ Yapılabilir	✅ Yapılabilir
Yansıma	✅ Yapılabilir	✅ Yapılabilir
Öteleme	❌ Yapılamaz	✅ Yapılabilir
Birleştirme	Sınırlı	✅ Tam destek

---

Temel Kavramlar

2D uzayda bir nokta P(x, y) vektör formu ile şu şekilde gösterilir:

$$P(x, y) = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$$

Transformasyon Matrisi

Genel transformasyon matrisi T şu şekilde tanımlanır:

$$T = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$$

Bir noktanın transformasyonu matris çarpımı ile gerçekleştirilir:

$$\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ax + by \\ cx + dy \end{bmatrix}$$

Temel Dönüşümler

1. Nokta ve Doğru Dönüşümleri: Özel Durumlar

a=d=1, b=c=0

Transformasyon:

$$\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$$

Sonuç: Hiçbir değişiklik olmaz (Identity - Birim matris)

---

b=c=0, d=1

Transformasyon:

$$\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ax \\ y \end{bmatrix}$$

Sonuç: x kısmında uzama (x ekseninde ölçeklendirme)

Örnek: a=2 için
P(2,3) → P'(4,3)
x ekseni boyunca 2 kat genişleme

---

b=c=0, a=1

Transformasyon:

$$\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x \\ dy \end{bmatrix}$$

Sonuç: y eksenine göre esneme (y ekseninde ölçeklendirme)

Örnek: d=0.5 için
P(2,4) → P'(2,2)
y ekseni boyunca yarıya inme

---

a=d=1, b=c=0

Transformasyon:

$$\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$$

Sonuç: Orijine göre simetri (esasen değişiklik yok ama orijin önemli)

---

b=c=0

Transformasyon:

$$\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ax \\ y \end{bmatrix}$$

Sonuç: x-y yönünde uzatma (x ekseninde uzama)

---

2. Dönürme (Rotation) Transformasyonu

Orijine göre dönme için temel matrisler:

90° Dönüş

$$T_{90} = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$$

Keyfi bir noktaya göre dönme işlemi için üç adım:

1. Önce noktayı orijine taşıma
2. Dönürme işlemi
3. Sonra geri taşıma

Adımlar örneklerle açıklanmıştır.

---

3. Yansıma (Reflection) Transformasyonu

X eksenine göre yansıma

$$T_{x} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$$

Örnek:

• P(3,2) → P’(3,-2)

Y eksenine göre yansıma

$$T_{y} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$

Örnek:

• P(3,2) → P’(-3,2)

Yansıma matrisleri verilmiştir. X eksenine, y eksenine veya y=x eksenine göre yansıma matrisleri açıklanmıştır.

Pratik

adı geçen 1 diğerleri -1 olur.

---

4. Ölçekleme (Scaling) Transformasyonu

X ve Y yönünde aynı veya farklı ölçekleme:

$$T_{scale} = \begin{bmatrix} s_x & 0 \\ 0 & s_y \end{bmatrix}$$

Örnekler:

• $s_x = 2, s_y = 2$: Her yönde 2 kat büyütme
• $s_x = 0.5, s_y = 0.5$: Her yönde yarıya küçültme

Keyfi bir noktaya göre ölçeklendirme için:

1. Ölçekleme merkezini orijine taşı
2. Ölçekle
3. Geri taşı

Ölçekleme matrisleri açıklanmıştır. Keyfi bir noktaya göre ölçeklendirme için de adımlar örneklerle detaylandırılmıştır.

---

5. 2 Boyutlu Öteleme ve Homojen Koordinatlar

Klasik 2x2 matrislerle öteleme (translation) yapılamaz! Bu yüzden homojen koordinatlar kullanılır.

2x2’lik Matrislerle Neden Öteleme Yapılamaz?

Öteleme işlemi toplama gerektirir:

$$\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x + t_x \\ y + t_y \end{bmatrix}$$

Bu işlem, 2x2 matris çarpımı ile yapılamaz.

Homojen Koordinat Sistemi

2D koordinatları 3x3’lük transformasyon matrislerinin kullanımını anlatmak için homojen koordinat düzlemine geçiş ve 3x3’lük transformasyon matrislerinin kullanımı gösterilmiştir. Matrisin son sütununun “H” değeri taşıması durumunda normalizasyon ihtiyacına değinilmiştir.

Homojen koordinatlarda bir nokta:

$$P(x, y) \rightarrow P_h(x, y, 1)$$

3x3 Transformasyon Matrisi:

$$T = \begin{bmatrix} a & b & t_x \\ c & d & t_y \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

Transformasyon:

$$\begin{bmatrix} x' \\ y' \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & b & t_x \\ c & d & t_y \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix}$$

Bu sayede öteleme, döndürme ve ölçekleme tek bir matris ile ifade edilebilir!

---

Düzgün Doğruların Transformasyonu

Not defterinde düzgün doğruların transformasyonu için örnekler verilmiştir.

Örnek 1

$$A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 5 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$$

Adımlar:

$$A \cdot T = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 5 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 6 & 16 \end{bmatrix}$$

Örnek 2

$$B \cdot T = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 4 & 10 \end{bmatrix}$$

Grafik Gösterim

       y
       |
   A'  •
       |
   B'  •
       |
   A   •
       |___________x

Doğru üzerindeki noktalar transformasyon sonrası yeni konumlarına hareket eder ancak düzgünlük korunur - yani doğru yine doğru kalır.

---

Önemli Notlar

Paralel Doğrular

Paralel doğruların transformasyon sonrası da paralelliği koruduğu matematiksel olarak gösterilmiştir.

Transformasyon Birleştirme

Transformasyon matrisleri birleştirilebilir:

$$T_{total} = T_3 \times T_2 \times T_1$$

Sıra Önemli!

Matris çarpımı sırasına bağlıdır!

• Önce döndür sonra ötele ≠ Önce ötele sonra döndür

Homojen Koordinatlar

Homojen koordinatlar sayesinde tüm 2D transformasyonlar tek bir 3x3 matris ile ifade edilebilir.

---

Özet Tablo

Birim Matris (Identity)

2x2:

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$

3x3 Homojen:

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

Ölçekleme (Scaling)

2x2:

$$\begin{bmatrix} s_x & 0 \\ 0 & s_y \end{bmatrix}$$

3x3 Homojen:

$$\begin{bmatrix} s_x & 0 & 0 \\ 0 & s_y & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

X Eksenine Yansıma

2x2:

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$$

3x3 Homojen:

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

Y Eksenine Yansıma

2x2:

$$\begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$

3x3 Homojen:

$$\begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

90° Dönüş

2x2:

$$\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$$

3x3 Homojen:

$$\begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

Öteleme (Translation)

2x2: ❌ Yapılamaz

3x3 Homojen:

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & t_y \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

---

Sonraki Adımlar

Bir sonraki derste şunları öğreneceğiz:

• 3D transformasyonlar
• Keyfi açılarda dönme (θ açısı)
• Composite transformations (Bileşik dönüşümler)
• Görünüm transformasyonları (View transformations)